在高等数学中，不定积分是研究函数原函数的重要工具之一。今天我们将探讨如何求解一个常见的不定积分问题——即 $\int \ln x \, dx$ 的解法。

解题步骤

第一步：选择合适的积分方法

对于形如 $\ln x$ 的函数，通常采用分部积分法。分部积分公式为：

$$

\int u \, dv = uv - \int v \, du

$$

我们需要将被积函数 $\ln x$ 分解为两个部分，其中一个是易于求导的部分，另一个是易于积分的部分。

第二步：分解被积函数

令 $u = \ln x$ 和 $dv = dx$。这样选择的原因是：

- 对于 $u = \ln x$，其导数 $du = \frac{1}{x} dx$ 是简单的。

- 对于 $dv = dx$，其积分 $v = x$ 也是容易计算的。

第三步：应用分部积分公式

根据分部积分公式，我们有：

$$

\int \ln x \, dx = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx

$$

化简后得到：

$$

\int \ln x \, dx = x \ln x - \int 1 \, dx

$$

第四步：计算剩余积分

$\int 1 \, dx = x + C$，其中 $C$ 是常数。因此，最终结果为：

$$

\int \ln x \, dx = x \ln x - x + C

$$

总结

通过以上步骤，我们成功求解了 $\int \ln x \, dx$。最终答案为：

$$

\boxed{x \ln x - x + C}

$$

希望这个过程对你有所帮助！不定积分的学习需要多加练习，掌握各种方法和技巧才能得心应手。