在科学研究和工程实践中，我们常常需要根据实验数据来构建数学模型，并通过拟合的方式确定模型参数。当面对非线性关系时，非线性最小二乘法是一种常用的工具。本文将介绍如何利用MATLAB实现非线性最小二乘拟合，帮助您快速掌握这一方法。
一、问题背景与理论基础
假设我们有一组实验数据点 \((x_i, y_i)\)，希望通过某种函数 \(f(x; p_1, p_2, ..., p_n)\) 来描述这些数据之间的关系。其中，\(p_1, p_2, ..., p_n\) 是待定参数。为了找到最优参数，我们需要最小化目标函数：
\[
S(p_1, p_2, ..., p_n) = \sum_{i=1}^{m} [y_i - f(x_i; p_1, p_2, ..., p_n)]^2
\]
这就是所谓的最小二乘准则。对于非线性情况，通常采用迭代算法（如Levenberg-Marquardt算法）进行求解。
二、MATLAB实现步骤
MATLAB提供了强大的优化工具箱，可以方便地完成上述任务。以下是具体操作流程：
1. 准备数据
首先准备好您的实验数据，确保它们以矩阵或表格的形式存储。例如：
```matlab
xdata = [0.9 1.5 13.8 19.8 24.1 28.2 35.2 60.3 74.6 81.3];
ydata = [455.2 428.6 124.1 67.3 43.2 28.1 13.1 -0.4 -1.3 -1.5];
```
2. 定义模型函数
编写一个匿名函数表示您的非线性模型。例如，若假设模型为指数衰减形式 \(f(x) = A exp(-Bx)\)，则可定义如下：
```matlab
modelFun = @(params, x) params(1) . exp(-params(2) . x);
```
3. 设置初始猜测值
选择一组合理的初始参数作为优化过程的起点。这一步至关重要，因为它直接影响最终结果的收敛速度及准确性。
```matlab
initialParams = [max(ydata), 0.1]; % 初始估计值
```
4. 调用优化函数
使用`lsqcurvefit`函数执行非线性最小二乘拟合：
```matlab
options = optimoptions('lsqcurvefit', 'Display', 'iter');
fittedParams = lsqcurvefit(modelFun, initialParams, xdata, ydata, [], [], options);
```
这里，`fittedParams`即为经过拟合后的最佳参数。
5. 可视化结果
最后，绘制原始数据与拟合曲线对比图，验证拟合效果：
```matlab
fittedYData = modelFun(fittedParams, xdata);
figure;
plot(xdata, ydata, 'o', xdata, fittedYData, '-');
legend('原始数据', '拟合曲线');
title('非线性最小二乘拟合结果');
xlabel('自变量 X');
ylabel('因变量 Y');
```
三、注意事项
- 合理选择初始值：不恰当的初始值可能导致算法陷入局部极小值甚至无法收敛。
- 检查残差分布：拟合完成后应分析残差是否符合随机误差特性，若存在系统偏差可能需要调整模型结构。
- 考虑噪声影响：实际应用中，数据往往包含一定噪声，适当平滑处理有助于提高拟合精度。
四、总结
通过以上步骤，我们可以轻松地在MATLAB环境中实现非线性最小二乘拟合。这种方法不仅适用于科学计算领域，还能广泛应用于工业设计、金融预测等多个行业。希望本文能为您提供有价值的参考！
