在数学领域中，等比数列是一种非常重要的数列类型，其每一项与其前一项的比值为常数。对于等比数列的研究，求和公式是其中的核心问题之一。本文将从多个角度出发，通过至少三种不同的方法来推导等比数列的求和公式。
方法一：代数推导法
设等比数列为 \(a, ar, ar^2, \dots, ar^{n-1}\)，其前 \(n\) 项和记为 \(S_n\)。则有：
\[
S_n = a + ar + ar^2 + \dots + ar^{n-1}
\]
将等式两边同时乘以公比 \(r\)，得到：
\[
rS_n = ar + ar^2 + ar^3 + \dots + ar^n
\]
两式相减，可得：
\[
S_n - rS_n = a - ar^n
\]
整理后得到：
\[
S_n(1 - r) = a(1 - r^n)
\]
当 \(r \neq 1\) 时，进一步化简可得：
\[
S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}
\]
方法二：归纳法推导
我们可以通过数学归纳法验证等比数列的求和公式。假设等比数列的前 \(n\) 项和为：
\[
S_n = a + ar + ar^2 + \dots + ar^{n-1}
\]
当 \(n=1\) 时，显然 \(S_1 = a\)，公式成立。假设当 \(n=k\) 时公式成立，即：
\[
S_k = \frac{a(1 - r^k)}{1 - r}
\]
则当 \(n=k+1\) 时：
\[
S_{k+1} = S_k + ar^k = \frac{a(1 - r^k)}{1 - r} + ar^k
\]
化简后得到：
\[
S_{k+1} = \frac{a(1 - r^{k+1})}{1 - r}
\]
因此，公式对 \(n=k+1\) 也成立，由归纳法可知公式成立。
方法三：极限法推导
对于无穷等比数列，若公比 \(|r| < 1\)，则其前 \(n\) 项和的极限形式为：
\[
S_\infty = \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}
\]
由于 \(|r| < 1\)，当 \(n \to \infty\) 时，\(r^n \to 0\)，因此：
\[
S_\infty = \frac{a}{1 - r}
\]
这一结果适用于无穷等比数列的求和。
通过以上三种方法的推导，我们可以清晰地理解等比数列求和公式的来源及其适用范围。这些方法不仅展示了数学推导的多样性，也为解决实际问题提供了多种思路。
