【三角函数的公式】在数学中，三角函数是研究三角形边角关系的重要工具，广泛应用于几何、物理、工程等多个领域。为了方便学习和使用，以下是对常见三角函数公式的总结，并以表格形式进行展示。
一、基本三角函数定义
设一个直角三角形中，角θ为锐角，则：
- 正弦（sin）：对边与斜边的比值
$$
\sin\theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}}
$$
- 余弦（cos）：邻边与斜边的比值
$$
\cos\theta = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}
$$
- 正切（tan）：对边与邻边的比值
$$
\tan\theta = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}
$$
二、常用三角恒等式
| 公式名称 | 公式表达 |
| 基本恒等式 | $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ |
| 正切与余切关系 | $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$, $\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta}$ |
| 余割与正割关系 | $\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}$, $\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}$ |
三、角度加减公式
| 公式名称 | 公式表达 |
| 正弦加法公式 | $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ |
| 正弦减法公式 | $\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ |
| 余弦加法公式 | $\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ |
| 余弦减法公式 | $\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ |
| 正切加法公式 | $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ |
| 正切减法公式 | $\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ |
四、倍角与半角公式
| 公式名称 | 公式表达 |
| 正弦倍角公式 | $\sin(2\theta) = 2\sin\theta \cos\theta$ |
| 余弦倍角公式 | $\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta$ |
| 正切倍角公式 | $\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$ |
| 正弦半角公式 | $\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}}$ |
| 余弦半角公式 | $\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}$ |
| 正切半角公式 | $\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta}$ |
五、积化和差与和差化积公式
| 公式名称 | 公式表达 |
| 积化和差（正弦） | $\sin A \cos B = \frac{1}{2} [\sin(A + B) + \sin(A - B)]$ |
| 积化和差（余弦） | $\cos A \cos B = \frac{1}{2} [\cos(A + B) + \cos(A - B)]$ |
| 积化和差（正弦乘正弦） | $\sin A \sin B = \frac{1}{2} [\cos(A - B) - \cos(A + B)]$ |
| 和差化积（正弦） | $\sin A + \sin B = 2\sin\left(\frac{A + B}{2}\right)\cos\left(\frac{A - B}{2}\right)$ |
| 和差化积（余弦） | $\cos A + \cos B = 2\cos\left(\frac{A + B}{2}\right)\cos\left(\frac{A - B}{2}\right)$ |
| 和差化积（正弦减正弦） | $\sin A - \sin B = 2\cos\left(\frac{A + B}{2}\right)\sin\left(\frac{A - B}{2}\right)$ |
六、特殊角度的三角函数值
| 角度（°） | 弧度（rad） | $\sin\theta$ | $\cos\theta$ | $\tan\theta$ |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 30 | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ |
| 45 | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | 1 |
| 60 | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $\sqrt{3}$ |
| 90 | $\frac{\pi}{2}$ | 1 | 0 | 无定义 |
通过以上内容，我们可以系统地掌握三角函数的基本公式和常用计算方法，有助于在实际问题中灵活运用这些知识。
