【导数常用公式】在微积分的学习中，导数是一个非常重要的概念，它用于描述函数的变化率。掌握常用的导数公式对于解题和理解数学规律至关重要。以下是一些常见的导数公式及其应用方法的总结。
一、基本导数公式
| 函数 | 导数 |
| $ f(x) = C $（C为常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $（n为实数） | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = a^x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = \log_a x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
二、三角函数导数
| 函数 | 导数 |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ |
| $ f(x) = \sec x $ | $ f'(x) = \sec x \tan x $ |
| $ f(x) = \csc x $ | $ f'(x) = -\csc x \cot x $ |
三、反三角函数导数
| 函数 | 导数 |
| $ f(x) = \arcsin x $ | $ f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
| $ f(x) = \arccos x $ | $ f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
| $ f(x) = \arctan x $ | $ f'(x) = \frac{1}{1 + x^2} $ |
| $ f(x) = \text{arccot } x $ | $ f'(x) = -\frac{1}{1 + x^2} $ |
四、导数运算法则
| 法则 | 公式 |
| 和差法则 | $ [f(x) \pm g(x)]' = f'(x) \pm g'(x) $ |
| 积法则 | $ [f(x) \cdot g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) $ |
| 商法则 | $ \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} $ |
| 链式法则 | $ [f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x) $ |
五、常见函数导数应用举例
- 多项式函数：如 $ f(x) = 3x^2 - 5x + 7 $，导数为 $ f'(x) = 6x - 5 $
- 指数函数：如 $ f(x) = 2^x $，导数为 $ f'(x) = 2^x \ln 2 $
- 对数函数：如 $ f(x) = \ln(3x) $，导数为 $ f'(x) = \frac{1}{x} $
通过熟练掌握这些导数公式和运算法则，可以更高效地解决各类微积分问题。建议在学习过程中多做练习，加深对公式的理解和应用能力。
