【等比数列的公式】等比数列是数学中常见的数列类型，其特点是每一项与前一项的比值是一个常数，称为“公比”。掌握等比数列的基本公式对于解决相关问题非常重要。以下是对等比数列主要公式的总结，并以表格形式进行展示。
一、基本概念
- 首项（a₁）：数列的第一个数。
- 公比（r）：相邻两项的比值，即 $ r = \frac{a_{n}}{a_{n-1}} $。
- 第n项（aₙ）：数列中的第n个数。
- 前n项和（Sₙ）：从首项到第n项的总和。
二、常用公式汇总
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 | ||
| 第n项公式 | $ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $ | 计算数列中第n项的值 | ||
| 前n项和公式（当 $ r \neq 1 $） | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $ 或 $ S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} $ | 计算前n项的和 | ||
| 当 $ r = 1 $ 时的前n项和 | $ S_n = a_1 \cdot n $ | 公比为1时，所有项相等 | ||
| 无穷等比数列和（当 $ | r | < 1 $） | $ S = \frac{a_1}{1 - r} $ | 当公比绝对值小于1时，数列收敛 |
三、使用示例
假设一个等比数列的首项为2，公比为3，求：
1. 第5项是多少？
2. 前5项的和是多少？
解：
1. 第5项：
$ a_5 = 2 \cdot 3^{5-1} = 2 \cdot 81 = 162 $
2. 前5项和：
$ S_5 = 2 \cdot \frac{3^5 - 1}{3 - 1} = 2 \cdot \frac{243 - 1}{2} = 2 \cdot 121 = 242 $
四、注意事项
- 当公比 $ r > 1 $ 时，数列呈递增趋势；当 $ 0 < r < 1 $ 时，数列递减。
- 若 $ r = 1 $，则数列为常数列，所有项相等。
- 当 $
通过以上内容，我们可以系统地了解等比数列的公式及其应用方式。掌握这些公式有助于在实际问题中快速找到解决方案。
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