【等比数列的性质】等比数列是数学中常见的一种数列形式，其特点是每一项与前一项的比值是一个常数，称为公比。掌握等比数列的性质，有助于更深入地理解其规律，并在实际问题中灵活运用。
以下是等比数列的一些主要性质总结：
一、基本定义
设一个数列为 $ a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n $，若满足：
$$
\frac{a_{n+1}}{a_n} = r \quad (r \neq 0)
$$
则该数列为等比数列，其中 $ r $ 称为公比。
二、等比数列的主要性质
| 序号 | 性质名称 | 内容描述 | ||
| 1 | 通项公式 | $ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $，其中 $ a_1 $ 为首项，$ r $ 为公比 | ||
| 2 | 等比中项 | 若三个数 $ a, b, c $ 成等比数列，则 $ b^2 = ac $，且 $ b = \sqrt{ac} $ | ||
| 3 | 连续项的积 | 若 $ a_1, a_2, \ldots, a_n $ 成等比数列，则 $ a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_n = a_1^n \cdot r^{\frac{n(n-1)}{2}} $ | ||
| 4 | 对称性 | 若 $ m + n = p + q $，则 $ a_m \cdot a_n = a_p \cdot a_q $ | ||
| 5 | 和的性质 | 若 $ S_n $ 为前 $ n $ 项和，则当 $ r \neq 1 $ 时，$ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $ | ||
| 6 | 无穷等比数列求和 | 当 $ | r | < 1 $ 时，无穷等比数列的和为 $ S = \frac{a_1}{1 - r} $ |
| 7 | 公比为负数的情况 | 若 $ r < 0 $，则数列各项符号交替变化 | ||
| 8 | 公比为1的情况 | 若 $ r = 1 $，则数列为常数列，所有项相等 |
三、应用举例
例如：已知等比数列 $ 2, 6, 18, 54, \ldots $，首项 $ a_1 = 2 $，公比 $ r = 3 $
- 第5项：$ a_5 = 2 \cdot 3^{4} = 162 $
- 前5项和：$ S_5 = 2 \cdot \frac{1 - 3^5}{1 - 3} = 2 \cdot \frac{-242}{-2} = 242 $
- 中间三项 $ 6, 18, 54 $ 满足 $ 18^2 = 6 \times 54 $，符合等比中项性质
四、注意事项
- 当公比 $ r = 1 $ 时，数列退化为常数列；
- 若 $ r = 0 $，则从第二项开始均为0，不构成标准等比数列；
- 在实际应用中，等比数列常用于复利计算、人口增长模型、放射性衰变等问题。
通过以上性质的归纳与分析，我们可以更好地理解和应用等比数列的相关知识，为后续学习更复杂的数列模型打下坚实基础。
