【等比数列前n项和公式Sn】在数学中，等比数列是一种重要的数列类型，其特点是每一项与前一项的比值是一个常数，称为公比。等比数列的前n项和公式（记作 $ S_n $）是解决相关问题的重要工具。本文将对等比数列前n项和公式进行总结，并以表格形式展示不同情况下的计算方式。

一、等比数列的基本概念

- 首项：$ a_1 $ 或简写为 $ a $

- 公比：$ r $，即相邻两项的比值

- 第n项：$ a_n = a \cdot r^{n-1} $

- 前n项和：$ S_n = a + ar + ar^2 + \dots + ar^{n-1} $

二、等比数列前n项和公式

根据公比 $ r $ 的不同，等比数列前n项和公式也有所区别：

三、公式推导思路（简要）

当 $ r \neq 1 $ 时，可以通过错位相减法来推导：

设：

$$

S_n = a + ar + ar^2 + \dots + ar^{n-1}

$$

两边同乘以 $ r $：

$$

rS_n = ar + ar^2 + ar^3 + \dots + ar^n

$$

两式相减：

$$

S_n - rS_n = a - ar^n

$$

$$

S_n(1 - r) = a(1 - r^n)

$$

$$

S_n = a \frac{1 - r^n}{1 - r}

$$

四、实际应用举例

五、注意事项

- 若 $ r > 1 $，可使用另一种形式的公式：

$$

S_n = a \frac{r^n - 1}{r - 1}

$$

- 当 $ r = 1 $ 时，不能使用上述公式，需单独处理。

- 公式适用于有限项的求和，若 $ r < 1 $，当 $ n \to \infty $ 时，$ S_n $ 趋向于一个极限值（无穷等比数列求和）。

总结

等比数列前n项和公式是数列求和中的基础内容，掌握其推导过程和应用场景有助于更好地理解数列的性质。通过表格对比不同情况下的公式表达，可以更清晰地掌握该知识点的应用条件和计算方法。