【等差等比数列的求和公式是什么】在数学学习中，等差数列和等比数列是两个非常重要的数列类型。它们不仅在基础数学中频繁出现，也在实际问题中有着广泛的应用。了解它们的求和公式，有助于我们更高效地解决相关问题。
一、等差数列的求和公式
定义：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是一个常数，这样的数列称为等差数列。这个常数称为公差，记作 $ d $。
通项公式：
$$ a_n = a_1 + (n - 1)d $$
其中，$ a_1 $ 是首项，$ n $ 是项数。
求和公式：
$$ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $$
或者
$$ S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] $$
说明：
- $ S_n $ 表示前 $ n $ 项的和；
- 公式可以根据已知条件灵活选择使用。
二、等比数列的求和公式
定义：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比是一个常数，这样的数列称为等比数列。这个常数称为公比，记作 $ r $。
通项公式：
$$ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $$
其中，$ a_1 $ 是首项，$ r $ 是公比。
求和公式：
当 $ r \neq 1 $ 时，
$$ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $$
或
$$ S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} $$
说明：
- 当 $ r = 1 $ 时，数列为常数列，此时 $ S_n = a_1 \cdot n $；
- 公式的选择取决于公比 $ r $ 的大小。
三、对比总结
| 项目 | 等差数列 | 等比数列 |
| 定义 | 每项与前一项之差为常数 | 每项与前一项之比为常数 |
| 通项公式 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ | $ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $ |
| 求和公式 | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $（$ r \neq 1 $） |
| 特殊情况 | 无特殊限制 | 当 $ r = 1 $ 时，$ S_n = a_1 \cdot n $ |
通过以上内容可以看出，等差数列和等比数列虽然结构不同，但都有明确的通项和求和公式。掌握这些公式不仅可以帮助我们快速计算数列的和，还能在实际应用中发挥重要作用。建议在学习过程中多做练习题，加深对公式的理解和运用能力。
