【等差等比数列公式】在数学中，数列是按一定顺序排列的一组数。其中，等差数列和等比数列是最常见的两种数列类型，它们在实际问题中应用广泛，如金融计算、物理运动分析、几何图形构造等。掌握它们的公式有助于快速解决相关问题。
一、等差数列
定义：一个数列中，从第二项起，每一项与前一项的差是一个常数，这样的数列称为等差数列。
- 公差（d）：相邻两项的差
- 首项（a₁）：数列的第一项
- 第n项（aₙ）：数列的第n个数
常用公式：
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 第n项公式 | aₙ = a₁ + (n - 1)d |
| 前n项和公式 | Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 或 Sₙ = n[2a₁ + (n - 1)d]/2 |
| 中间项公式 | 若n为奇数，则中间项为 a_{(n+1)/2} |
二、等比数列
定义：一个数列中，从第二项起，每一项与前一项的比是一个常数，这样的数列称为等比数列。
- 公比（r）：相邻两项的比
- 首项（a₁）：数列的第一项
- 第n项（aₙ）：数列的第n个数
常用公式：
| 公式名称 | 公式表达式 | ||
| 第n项公式 | aₙ = a₁ × r^{n - 1} | ||
| 前n项和公式 | Sₙ = a₁(1 - rⁿ)/(1 - r) （当 r ≠ 1） | ||
| 无穷等比数列和 | S = a₁/(1 - r) （当 | r | < 1 时成立） |
三、对比总结表
| 项目 | 等差数列 | 等比数列 |
| 定义 | 每项与前一项的差为常数 | 每项与前一项的比为常数 |
| 公差（d） | d = a₂ - a₁ | 公比（r）= a₂ / a₁ |
| 第n项公式 | aₙ = a₁ + (n - 1)d | aₙ = a₁ × r^{n - 1} |
| 前n项和公式 | Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 | Sₙ = a₁(1 - rⁿ)/(1 - r) |
| 适用范围 | 数列增长均匀 | 数列增长呈指数形式 |
| 特殊情况 | 当d=0时，所有项相等 | 当r=1时，所有项相等 |
通过理解等差数列和等比数列的基本概念与公式，可以更高效地处理与数列相关的数学问题。无论是考试复习还是实际应用，这些公式都是必不可少的工具。建议多做练习题，以加深对公式的理解和运用能力。
