【等差数列的性质】等差数列是数学中常见的数列形式，具有许多重要的性质。掌握这些性质有助于更好地理解等差数列的规律，并在实际问题中灵活运用。以下是对等差数列主要性质的总结。
一、等差数列的基本定义
等差数列是指从第二项起，每一项与前一项的差为同一个常数的数列。这个常数称为公差，记作 $ d $。
设等差数列为 $ a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n $，则有：
$$
a_{n} = a_{n-1} + d \quad (n \geq 2)
$$
二、等差数列的性质总结
| 序号 | 性质名称 | 内容说明 |
| 1 | 公差恒定性 | 每一项与前一项的差为同一常数 $ d $。 |
| 2 | 通项公式 | 第 $ n $ 项为：$ a_n = a_1 + (n - 1)d $ |
| 3 | 中间项性质 | 若数列项数为奇数，则中间项等于首项与末项的平均值；若为偶数，则相邻两项的和相等。 |
| 4 | 等差中项 | 若三个数 $ a, b, c $ 成等差数列，则 $ b = \frac{a + c}{2} $ |
| 5 | 前 $ n $ 项和公式 | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ 或 $ S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] $ |
| 6 | 等差数列的子数列 | 若从等差数列中按一定规律取出若干项，仍构成等差数列。 |
| 7 | 对称性 | 在有限等差数列中，与首末两项等距的两项之和相等。 |
| 8 | 数列增减性 | 当 $ d > 0 $ 时，数列为递增数列；当 $ d < 0 $ 时，数列为递减数列；当 $ d = 0 $ 时，为常数列。 |
三、应用示例
例如，已知一个等差数列的首项为 3，公差为 2，求第 5 项及前 5 项的和。
- 第 5 项：
$$
a_5 = a_1 + (5 - 1)d = 3 + 4 \times 2 = 11
$$
- 前 5 项和：
$$
S_5 = \frac{5}{2}(a_1 + a_5) = \frac{5}{2}(3 + 11) = \frac{5}{2} \times 14 = 35
$$
四、总结
等差数列的性质不仅帮助我们快速计算数列中的各项，还能用于解决实际问题，如财务计算、物理运动分析等。掌握这些性质，可以提高解题效率并加深对数列的理解。
通过表格形式整理等差数列的性质，能够更清晰地把握其核心特征，便于记忆与应用。
