【等差数列基本性质】等差数列是数列中的一种重要类型，广泛应用于数学、物理和工程等领域。理解等差数列的基本性质，有助于我们更快地解决相关问题。以下是对等差数列基本性质的总结。
一、等差数列的定义
如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数称为公差，通常用 d 表示。
二、等差数列的基本性质总结
| 序号 | 性质名称 | 内容说明 |
| 1 | 公差恒定 | 每一项与前一项的差为定值，即 $ a_{n+1} - a_n = d $（$ n \in \mathbb{N}^ $） |
| 2 | 通项公式 | 第 $ n $ 项为 $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ |
| 3 | 中间项性质 | 若 $ m + n = p + q $，则 $ a_m + a_n = a_p + a_q $ |
| 4 | 等差中项 | 若三个数 $ a, b, c $ 成等差数列，则 $ b = \frac{a + c}{2} $ |
| 5 | 前 $ n $ 项和 | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] $ |
| 6 | 对称性 | 若 $ a_1, a_2, \ldots, a_n $ 是等差数列，则 $ a_k + a_{n-k+1} = a_1 + a_n $ |
| 7 | 子数列仍为等差数列 | 若从等差数列中每隔 $ k $ 项取一项，所得数列仍为等差数列 |
三、应用举例
例如，已知等差数列的首项 $ a_1 = 2 $，公差 $ d = 3 $，求第 5 项及前 5 项和：
- 第 5 项：
$ a_5 = a_1 + (5 - 1)d = 2 + 4 \times 3 = 14 $
- 前 5 项和：
$ S_5 = \frac{5}{2}(2 + 14) = \frac{5}{2} \times 16 = 40 $
四、总结
等差数列的性质简洁而实用，掌握这些性质不仅有助于快速解题，还能加深对数列结构的理解。在实际应用中，合理利用这些性质可以简化计算过程，提高解题效率。
