【线性代数：行列式按行展开】在学习线性代数的过程中，行列式的计算是一个重要的内容。行列式的计算方法有多种，其中“按行展开”是一种常用且基础的方法。它基于余子式和代数余子式的概念，能够将高阶行列式的计算转化为低阶行列式的计算，从而简化运算过程。

一、基本概念

- 行列式：一个由方阵元素组成的数，记作 $ A $ 或 $ \det(A) $。

- 余子式（Minor）：去掉某一行一列后剩余元素构成的行列式，记作 $ M_{ij} $。

- 代数余子式（Cofactor）：$ C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij} $。

二、行列式按行展开的原理

对于一个 $ n \times n $ 的矩阵 $ A $，其行列式可以按照第 $ i $ 行进行展开：

$$

\det(A) = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} \cdot C_{ij}

$$

即，每一项是该行元素与其对应的代数余子式的乘积之和。

同样地，也可以按照任意一行或一列进行展开。

三、按行展开的步骤

1. 选择一行（通常选择含有较多零的行以简化计算）。

2. 对于该行中的每一个元素 $ a_{ij} $，计算其对应的代数余子式 $ C_{ij} $。

3. 将每个元素与对应的代数余子式相乘，并求和得到行列式的值。

四、示例说明

假设我们有一个 3×3 矩阵：

$$

A =

\begin{bmatrix}

1 & 2 & 3 \\

4 & 5 & 6 \\

7 & 8 & 9

\end{bmatrix}

$$

我们可以按第一行展开：

$$

\det(A) = 1 \cdot C_{11} + 2 \cdot C_{12} + 3 \cdot C_{13}

$$

计算各代数余子式：

- $ C_{11} = (+1)^{1+1} \cdot \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} = 5 \cdot 9 - 6 \cdot 8 = 45 - 48 = -3 $

- $ C_{12} = (-1)^{1+2} \cdot \begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} = - (4 \cdot 9 - 6 \cdot 7) = - (36 - 42) = 6 $

- $ C_{13} = (+1)^{1+3} \cdot \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{vmatrix} = 4 \cdot 8 - 5 \cdot 7 = 32 - 35 = -3 $

因此：

$$

\det(A) = 1 \cdot (-3) + 2 \cdot 6 + 3 \cdot (-3) = -3 + 12 - 9 = 0

$$

五、总结表格

通过掌握行列式按行展开的方法，可以更高效地处理高阶行列式的计算问题，是线性代数中一项非常实用的技能。