【初二课时一元二次方程第4节公式法】在学习一元二次方程的过程中，学生已经掌握了如何通过配方法和因式分解法来解方程。然而，这些方法在某些情况下并不适用或较为繁琐。因此，在本节课中，我们引入了一种更为通用且高效的解方程方法——公式法。
一、什么是公式法？
公式法是根据一元二次方程的一般形式：
$$ ax^2 + bx + c = 0 $$
推导出的求根公式：
$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$
这个公式适用于所有形如 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的一元二次方程，无论其是否可以因式分解或配方。
二、公式的推导过程（简要回顾）
1. 将方程写成标准形式：$ ax^2 + bx + c = 0 $
2. 移项得：$ ax^2 + bx = -c $
3. 两边同时除以 $ a $：$ x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a} $
4. 配方：在两边加上 $ \left(\frac{b}{2a}\right)^2 $，得到：
$$ x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 = -\frac{c}{a} + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 $$
5. 左边变为完全平方，右边化简后得到：
$$ \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} $$
6. 开平方并整理，最终得到求根公式。
三、使用公式法的步骤
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 确定方程中的 $ a $、$ b $、$ c $ 值 |
| 2 | 计算判别式 $ D = b^2 - 4ac $ |
| 3 | 判断根的情况（若 $ D > 0 $，有两个不等实数根；若 $ D = 0 $，有一个实数根；若 $ D < 0 $，无实数根） |
| 4 | 代入公式 $ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} $ 进行计算 |
| 5 | 检查结果是否符合原方程 |
四、举例说明
例题1：解方程 $ 2x^2 + 5x + 2 = 0 $
- $ a = 2 $, $ b = 5 $, $ c = 2 $
- 判别式 $ D = 5^2 - 4 \times 2 \times 2 = 25 - 16 = 9 $
- 根为：
$$ x = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{2 \times 2} = \frac{-5 \pm 3}{4} $$
所以，$ x_1 = \frac{-5 + 3}{4} = -\frac{1}{2} $，$ x_2 = \frac{-5 - 3}{4} = -2 $
例题2：解方程 $ x^2 - 4x + 4 = 0 $
- $ a = 1 $, $ b = -4 $, $ c = 4 $
- 判别式 $ D = (-4)^2 - 4 \times 1 \times 4 = 16 - 16 = 0 $
- 根为：
$$ x = \frac{4 \pm \sqrt{0}}{2 \times 1} = \frac{4}{2} = 2 $$
五、总结
| 项目 | 内容 |
| 公式法 | 适用于所有一元二次方程，求解效率高 |
| 求根公式 | $ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $ |
| 判别式 | $ D = b^2 - 4ac $，决定根的性质 |
| 优点 | 不依赖因式分解或配方，适用范围广 |
| 注意事项 | 要注意符号的变化，尤其是负号和平方根的正负号 |
通过本节课的学习，同学们应能够熟练掌握公式法的使用，并能灵活应用于各类一元二次方程的求解中。
