【除法导数公式是什么】在微积分中，导数是研究函数变化率的重要工具。对于两个可导函数的商（即除法），我们需要使用“除法法则”来求其导数。这个法则也被称为“商法则”，是求导过程中非常基础且常用的方法之一。
一、除法导数公式总结
若函数 $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $，其中 $ u(x) $ 和 $ v(x) $ 都是可导函数，且 $ v(x) \neq 0 $，则其导数为：
$$
f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
$$
该公式可以简记为：
分子导乘分母减分子乘分母导，再除以分母的平方。
二、除法导数公式表格
| 项目 | 内容 |
| 公式名称 | 商法则 / 除法导数公式 |
| 表达式 | $ f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} $ |
| 使用条件 | $ u(x) $、$ v(x) $ 均可导，且 $ v(x) \neq 0 $ |
| 简记口诀 | 分子导乘分母，减去分子乘分母导，再除以分母平方 |
| 应用场景 | 求两个函数相除后的导数，如 $ \frac{\sin x}{x} $、$ \frac{e^x}{x^2} $ 等 |
三、示例说明
例如，设 $ f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 1} $，则：
- $ u(x) = x^2 + 1 $，$ u'(x) = 2x $
- $ v(x) = x - 1 $，$ v'(x) = 1 $
代入公式得：
$$
f'(x) = \frac{(2x)(x - 1) - (x^2 + 1)(1)}{(x - 1)^2}
= \frac{2x(x - 1) - (x^2 + 1)}{(x - 1)^2}
$$
进一步化简后即可得到最终结果。
四、注意事项
- 在应用除法导数公式时，必须确保分母不为零；
- 若分母是常数，则可以直接将分母提出，只对分子求导；
- 对于复杂函数，可能需要结合其他导数规则（如链式法则）一起使用。
通过掌握除法导数公式，我们可以更高效地处理涉及分数形式的函数导数问题，是学习微积分不可或缺的基础内容之一。
