【点到空间直线一般式的距离公式】在三维几何中，计算点到空间直线的距离是一个常见的问题。当直线以一般式表示时，即不通过参数方程或向量形式，而是用两个平面方程的交线来表示时，求点到该直线的距离会更具挑战性。本文将对“点到空间直线一般式的距离公式”进行总结，并提供一个清晰的表格说明相关概念和计算步骤。

一、基本概念

1. 空间直线的一般式

空间直线可以由两个相交平面的交线表示，其一般式为：

$$

\begin{cases}

A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0 \\

A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0

\end{cases}

$$

这两个平面的交线即为一条直线。

2. 点到直线的距离

设点 $ P(x_0, y_0, z_0) $ 到直线 $ L $ 的距离为 $ d $，则 $ d $ 是从点 $ P $ 到直线 $ L $ 的最短距离，即垂直距离。

二、点到空间直线一般式的距离公式

对于直线的一般式：

$$

\begin{cases}

A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0 \\

A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0

\end{cases}

$$

以及点 $ P(x_0, y_0, z_0) $，点到该直线的距离公式为：

$$

d = \frac{\left \vec{n}_1 \cdot (\vec{r} - \vec{r}_0) \times \vec{n}_2 \right}{\vec{n}_1 \times \vec{n}_2}

$$

其中：

- $ \vec{n}_1 = (A_1, B_1, C_1) $ 为第一个平面的法向量；

- $ \vec{n}_2 = (A_2, B_2, C_2) $ 为第二个平面的法向量；

- $ \vec{r} $ 是直线上任意一点的坐标向量；

- $ \vec{r}_0 = (x_0, y_0, z_0) $ 是点 $ P $ 的坐标向量；

- $ \times $ 表示向量叉乘；

- $ \cdot $ 表示向量点积。

三、计算步骤简要总结

四、总结

点到空间直线一般式的距离公式是基于向量运算和几何关系推导而来的，适用于直线以两个平面方程表示的情况。理解这一公式的本质有助于掌握三维几何中点与直线之间关系的计算方法。实际应用中，可以通过代数运算逐步完成计算，确保结果的准确性。

五、附表：关键公式与符号对照

如需进一步了解如何求解具体例子中的点到直线的距离，可参考具体的数值代入和计算过程。