【多项式长除法】在代数运算中，多项式长除法是一种用于将一个多项式除以另一个多项式的方法。它类似于整数的长除法，但应用于多项式形式。通过这种除法，可以得到商和余数，有助于分解多项式、求解方程或简化表达式。
一、多项式长除法的基本步骤
1. 排列多项式：将被除式和除式都按降幂排列，缺失的项用0补上。
2. 首项相除：用被除式的首项除以除式的首项，得到商的第一个项。
3. 乘积减去：将所得的商项乘以除式，然后从被除式中减去这个乘积。
4. 重复操作：将新的多项式视为新的被除式，重复上述步骤，直到余式的次数小于除式的次数。
5. 得出结果：最终得到商和余式。
二、多项式长除法示例
假设我们进行如下除法：
被除式：$ x^3 + 2x^2 - 5x + 6 $
除式：$ x - 1 $
按照步骤进行计算：
| 步骤 | 操作 | 结果 |
| 1 | 排列多项式 | $ x^3 + 2x^2 - 5x + 6 $ 除以 $ x - 1 $ |
| 2 | 首项相除 | $ \frac{x^3}{x} = x^2 $ |
| 3 | 乘积减去 | $ x^2 \cdot (x - 1) = x^3 - x^2 $ 减去后：$ (x^3 + 2x^2) - (x^3 - x^2) = 3x^2 $ |
| 4 | 继续除法 | $ \frac{3x^2}{x} = 3x $ $ 3x \cdot (x - 1) = 3x^2 - 3x $ 减去后：$ (-5x + 6) - (-3x) = -2x + 6 $ |
| 5 | 再次除法 | $ \frac{-2x}{x} = -2 $ $ -2 \cdot (x - 1) = -2x + 2 $ 减去后：$ 6 - 2 = 4 $ |
三、最终结果
- 商：$ x^2 + 3x - 2 $
- 余数：$ 4 $
因此，原式可以表示为：
$$
\frac{x^3 + 2x^2 - 5x + 6}{x - 1} = x^2 + 3x - 2 + \frac{4}{x - 1}
$$
四、总结
多项式长除法是处理多项式除法的一种系统方法，能够帮助我们清晰地找到商和余数。其核心在于逐步进行“首项相除—乘积减去”的循环操作，直到余式无法再被除式整除为止。掌握这一方法对于进一步学习因式分解、多项式函数分析等数学内容具有重要意义。
