【二次函数顶点坐标公式及推导过程】在数学中，二次函数是一种非常常见的函数形式，其标准形式为：
$$ y = ax^2 + bx + c $$
其中 $ a \neq 0 $。二次函数的图像是一个抛物线，而抛物线的最高点或最低点称为顶点。顶点的坐标对于分析函数的性质、求极值以及图像绘制都具有重要意义。
为了更直观地了解二次函数的顶点位置，我们可以通过代数方法推导出顶点坐标的公式，并将其整理成表格形式进行总结。
一、顶点坐标的公式
对于二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $，其顶点的横坐标（x 坐标）为：
$$
x = -\frac{b}{2a}
$$
将该 x 值代入原函数，即可得到顶点的纵坐标（y 坐标）：
$$
y = f\left(-\frac{b}{2a}\right) = a\left(-\frac{b}{2a}\right)^2 + b\left(-\frac{b}{2a}\right) + c
$$
化简后可得：
$$
y = c - \frac{b^2}{4a}
$$
因此，顶点坐标为：
$$
\left( -\frac{b}{2a},\ c - \frac{b^2}{4a} \right)
$$
二、顶点坐标公式的推导过程
我们可以使用配方法对二次函数进行变形，从而得到顶点坐标。
步骤 1：写出一般式
$$
y = ax^2 + bx + c
$$
步骤 2：提取 a 的系数
$$
y = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c
$$
步骤 3：配方
要使括号内的部分成为完全平方，我们需要加上并减去 $\left(\frac{b}{2a}\right)^2$：
$$
y = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2\right] + c
$$
步骤 4：展开并整理
$$
y = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - a\cdot \frac{b^2}{4a^2} + c
$$
$$
y = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c
$$
步骤 5：得出顶点形式
$$
y = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \left(c - \frac{b^2}{4a}\right)
$$
由此可以看出，顶点坐标为：
$$
\left( -\frac{b}{2a},\ c - \frac{b^2}{4a} \right)
$$
三、总结表格
| 项目 | 内容 |
| 函数形式 | $ y = ax^2 + bx + c $ |
| 顶点横坐标 | $ x = -\dfrac{b}{2a} $ |
| 顶点纵坐标 | $ y = c - \dfrac{b^2}{4a} $ |
| 顶点坐标 | $ \left( -\dfrac{b}{2a},\ c - \dfrac{b^2}{4a} \right) $ |
| 推导方法 | 配方法（完成平方） |
| 应用场景 | 求最大/最小值、图像绘制、函数性质分析 |
通过以上内容，我们可以清晰地理解二次函数顶点坐标的计算方式及其推导过程。掌握这一公式不仅有助于解题，还能加深对二次函数图像和性质的理解。
