【分式的导数】在微积分中，分式的导数是求解函数导数的一个重要部分。分式通常指的是两个函数相除的形式，即 $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $，其中 $ u(x) $ 和 $ v(x) $ 都是可导函数。为了求这类函数的导数，我们通常使用商法则（Quotient Rule）。
一、分式的导数公式
对于函数 $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $，其导数为：
$$
f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
$$
该公式可以简化为：
分子的导数乘以分母减去分子乘以分母的导数，再除以分母的平方。
二、常见分式导数示例
| 分式表达式 | 导数 | 说明 |
| $ \frac{1}{x} $ | $ -\frac{1}{x^2} $ | 基本形式，应用商法则 |
| $ \frac{x}{x+1} $ | $ \frac{1}{(x+1)^2} $ | 分子导数为1，分母导数为1 |
| $ \frac{x^2}{x^3 + 1} $ | $ \frac{2x(x^3 + 1) - x^2 \cdot 3x^2}{(x^3 + 1)^2} = \frac{2x^4 + 2x - 3x^4}{(x^3 + 1)^2} = \frac{-x^4 + 2x}{(x^3 + 1)^2} $ | 复杂分式，需逐步计算分子与分母导数 |
| $ \frac{\sin x}{\cos x} $ | $ \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} $ | 可化简为 $ \tan x $，导数为 $ \sec^2 x $ |
三、总结
- 分式的导数是微积分中的基本内容之一，适用于所有形式为 $ \frac{u(x)}{v(x)} $ 的函数。
- 商法则是求解此类导数的核心工具，掌握其结构有助于快速计算复杂分式的导数。
- 实际应用中，应先对分子和分母分别求导，再代入公式进行运算，避免混淆。
通过熟练掌握商法则，并结合具体例子练习，可以有效提升对分式导数的理解和应用能力。
