【概率论公式】概率论是研究随机现象及其规律的一门数学学科，广泛应用于统计学、金融、物理、计算机科学等领域。为了更好地理解和应用概率论，掌握其基本公式至关重要。以下是对概率论中常用公式的总结，并以表格形式进行归纳。
一、基本概念与公式
1. 样本空间（Sample Space）
所有可能结果的集合，记作 $ S $。
2. 事件（Event）
样本空间的一个子集，表示某一随机现象的结果。
3. 概率定义
对于事件 $ A \subseteq S $，其概率 $ P(A) $ 满足：
- $ 0 \leq P(A) \leq 1 $
- $ P(S) = 1 $
- 若 $ A $ 与 $ B $ 互斥，则 $ P(A \cup B) = P(A) + P(B) $
4. 古典概率
若所有结果等可能，则事件 $ A $ 的概率为：
$$
P(A) = \frac{\text{A 中包含的基本事件数}}{\text{样本空间中的基本事件总数}}
$$
5. 几何概率
在连续样本空间中，事件的概率等于其测度与整个样本空间测度之比。
6. 条件概率
在已知事件 $ B $ 发生的前提下，事件 $ A $ 发生的概率：
$$
P(A
$$
7. 乘法公式
$$
P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B
$$
8. 全概率公式
若 $ B_1, B_2, \dots, B_n $ 是一个完备事件组（即互斥且并集为 $ S $），则对任意事件 $ A $：
$$
P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(B_i) \cdot P(A
$$
9. 贝叶斯公式（Bayes' Theorem）
$$
P(B_i
$$
10. 独立事件
若 $ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) $，则称事件 $ A $ 与 $ B $ 相互独立。
二、常见分布与公式
| 分布名称 | 概率质量函数/密度函数 | 数学期望 | 方差 |
| 二项分布 $ B(n, p) $ | $ P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | $ np $ | $ np(1-p) $ |
| 泊松分布 $ Poisson(\lambda) $ | $ P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ | $ \lambda $ | $ \lambda $ |
| 正态分布 $ N(\mu, \sigma^2) $ | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ \mu $ | $ \sigma^2 $ |
| 均匀分布 $ U(a,b) $ | $ f(x) = \frac{1}{b-a} $ | $ \frac{a+b}{2} $ | $ \frac{(b-a)^2}{12} $ |
| 指数分布 $ Exp(\lambda) $ | $ f(x) = \lambda e^{-\lambda x} $ | $ \frac{1}{\lambda} $ | $ \frac{1}{\lambda^2} $ |
三、随机变量与期望
1. 期望（Expected Value）
对于离散随机变量 $ X $，其期望为：
$$
E[X] = \sum_{x} x \cdot P(X=x)
$$
对于连续随机变量 $ X $，其期望为：
$$
E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) dx
$$
2. 方差（Variance）
$$
Var(X) = E[(X - E[X])^2] = E[X^2] - (E[X])^2
$$
3. 协方差（Covariance）
$$
Cov(X, Y) = E[XY] - E[X]E[Y
$$
4. 相关系数（Correlation Coefficient）
$$
\rho_{XY} = \frac{Cov(X, Y)}{\sqrt{Var(X) Var(Y)}}
$$
四、总结
概率论是一门基础而重要的数学工具，掌握其核心公式有助于理解随机现象的本质和规律。本文从基本概念、条件概率、全概率与贝叶斯公式，到常见分布和期望、方差等，进行了系统性的归纳与总结，便于学习与应用。
| 公式类型 | 公式表达 | |||
| 条件概率 | $ P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $ | ||
| 全概率公式 | $ P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(B_i) \cdot P(A | B_i) $ | ||
| 贝叶斯公式 | $ P(B_i | A) = \frac{P(B_i) \cdot P(A | B_i)}{\sum_{j=1}^{n} P(B_j) \cdot P(A | B_j)} $ |
| 独立事件 | $ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) $ | |||
| 期望 | $ E[X] = \sum x \cdot P(X=x) $ 或 $ \int x f(x) dx $ | |||
| 方差 | $ Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 $ |
通过这些公式，可以更清晰地分析和预测随机事件的发生概率，为实际问题提供理论支持。
