【点到平面的向量公式】在三维几何中，计算一个点到一个平面的距离是一个常见的问题。通过向量方法可以高效、准确地求解这一问题。本文将总结点到平面的向量公式，并以表格形式展示关键内容。

一、点到平面的向量公式概述

设有一个平面 π，其一般方程为：

$$

Ax + By + Cz + D = 0

$$

其中，$ A, B, C $ 是该平面的法向量 $ \vec{n} = (A, B, C) $ 的分量，$ D $ 是常数项。

设有一点 $ P(x_0, y_0, z_0) $，则点 $ P $ 到平面 π 的距离 $ d $ 可由以下公式计算：

$$

d = \frac{Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}

$$

这个公式是基于向量投影原理得出的，即点到平面的距离等于点在法向量方向上的投影长度。

二、关键公式与参数说明

三、应用举例

假设有一平面：

$$

2x - 3y + 6z - 12 = 0

$$

和一点 $ P(1, 2, 3) $，求点 P 到该平面的距离。

根据公式：

$$

d = \frac{2(1) - 3(2) + 6(3) - 12}{\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2}} = \frac{2 - 6 + 18 - 12}{\sqrt{4 + 9 + 36}} = \frac{2}{\sqrt{49}} = \frac{2}{7}

$$

因此，点 P 到该平面的距离为 $ \frac{2}{7} $。

四、总结

点到平面的向量公式是一种简洁且实用的方法，能够快速计算空间中任意点到给定平面的距离。理解其背后的几何意义有助于更好地掌握三维空间中的位置关系。

通过上述表格与实例，可以清晰地看到公式的结构与应用方式，适用于数学、物理、工程等多个领域。