【高中三角函数公式】在高中数学中，三角函数是一个重要的知识点，广泛应用于几何、物理、工程等领域。掌握常见的三角函数公式对于解题和理解相关概念至关重要。以下是对高中阶段常用的三角函数公式的总结，便于复习与查阅。
一、基本三角函数定义
| 名称 | 定义式（在直角三角形中） | 定义式（单位圆中） |
| 正弦（sin） | 对边 / 斜边 | y / r |
| 余弦（cos） | 邻边 / 斜边 | x / r |
| 正切（tan） | 对边 / 邻边 | y / x |
| 余切（cot） | 邻边 / 对边 | x / y |
| 正割（sec） | 斜边 / 邻边 | r / x |
| 余割（csc） | 斜边 / 对边 | r / y |
二、同角三角函数关系
| 公式 | 说明 |
| $ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $ | 平方关系 |
| $ \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} $ | 商数关系 |
| $ 1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta $ | 倒数关系 |
| $ 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta $ | 倒数关系 |
三、诱导公式（角度变换）
| 角度变化 | 三角函数值变化 |
| $ \sin(-\theta) $ | $ -\sin\theta $ |
| $ \cos(-\theta) $ | $ \cos\theta $ |
| $ \tan(-\theta) $ | $ -\tan\theta $ |
| $ \sin(\pi - \theta) $ | $ \sin\theta $ |
| $ \cos(\pi - \theta) $ | $ -\cos\theta $ |
| $ \sin(\pi + \theta) $ | $ -\sin\theta $ |
| $ \cos(\pi + \theta) $ | $ -\cos\theta $ |
四、两角和与差的公式
| 公式 | 说明 |
| $ \sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta $ | 正弦的和差公式 |
| $ \cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta $ | 余弦的和差公式 |
| $ \tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta} $ | 正切的和差公式 |
五、倍角公式
| 公式 | 说明 |
| $ \sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta $ | 正弦的倍角公式 |
| $ \cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta $ | 余弦的倍角公式 |
| $ \cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2\theta $ | 余弦的另一种形式 |
| $ \cos(2\theta) = 2\cos^2\theta - 1 $ | 余弦的另一种形式 |
| $ \tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta} $ | 正切的倍角公式 |
六、半角公式
| 公式 | 说明 |
| $ \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}} $ | 正弦的半角公式 |
| $ \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}} $ | 余弦的半角公式 |
| $ \tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{1 + \cos\theta}} $ | 正切的半角公式 |
七、积化和差与和差化积公式
| 公式 | 说明 |
| $ \sin A \cos B = \frac{1}{2} [\sin(A+B) + \sin(A-B)] $ | 积化和差公式 |
| $ \cos A \cos B = \frac{1}{2} [\cos(A+B) + \cos(A-B)] $ | 积化和差公式 |
| $ \sin A \sin B = \frac{1}{2} [\cos(A-B) - \cos(A+B)] $ | 积化和差公式 |
| $ \sin A + \sin B = 2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right) $ | 和差化积公式 |
| $ \cos A + \cos B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right) $ | 和差化积公式 |
| $ \sin A - \sin B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right) $ | 和差化积公式 |
通过以上对高中三角函数公式的系统整理，可以帮助学生更好地理解和记忆这些常用公式，并在实际问题中灵活运用。建议结合图形和例题进行练习，以加深理解。
