【二项分布超几何分布的均值和方差公式是什么】在概率论与统计学中，二项分布和超几何分布是两种常见的离散型概率分布，分别用于描述独立重复试验和不放回抽样中的成功次数。它们的均值和方差是衡量随机变量集中趋势和离散程度的重要指标。下面对这两种分布的均值和方差进行总结，并以表格形式展示。
一、二项分布（Binomial Distribution）
定义：
二项分布描述的是在n次独立重复的伯努利试验中，事件A发生的次数X的概率分布。每次试验成功的概率为p，失败的概率为1-p。
参数：
- n：试验次数
- p：每次试验成功的概率
均值（期望）：
$$
E(X) = np
$$
方差：
$$
Var(X) = np(1 - p)
$$
二、超几何分布（Hypergeometric Distribution）
定义：
超几何分布描述的是在有限总体中进行不放回抽样时，成功次数的概率分布。总体中有N个个体，其中有K个“成功”个体，从中抽取n个样本，其中包含k个成功个体的概率分布。
参数：
- N：总体数量
- K：成功个体数
- n：抽取样本数
均值（期望）：
$$
E(X) = n \cdot \frac{K}{N}
$$
方差：
$$
Var(X) = n \cdot \frac{K}{N} \cdot \left(1 - \frac{K}{N}\right) \cdot \frac{N - n}{N - 1}
$$
三、对比总结表
| 分布类型 | 均值 $E(X)$ | 方差 $Var(X)$ |
| 二项分布 | $np$ | $np(1 - p)$ |
| 超几何分布 | $n \cdot \frac{K}{N}$ | $n \cdot \frac{K}{N} \cdot \left(1 - \frac{K}{N}\right) \cdot \frac{N - n}{N - 1}$ |
四、小结
二项分布适用于独立重复试验，其方差仅依赖于试验次数和单次成功的概率；而超几何分布则适用于不放回抽样，其方差还受到总体大小和样本量的影响，因此方差公式中多了一个有限总体校正因子 $\frac{N - n}{N - 1}$。
理解这两个分布的均值和方差有助于在实际问题中更好地建模和分析数据。
